Максимизация количества кликов

Сразу сделаем вывод, который последует из нижеприведенных выкладок: Максимальное количество кликов будет получаться при установлении единой цены клика на все ключевые фразы. Впрочем, этот вывод является прямым следствием 3-го постулата Основ рекламы. И если нет желания разбираться в математике, то можно сразу перейти к следующей статье.

Попытаемся создать математическую модель оптимального алгоритма ценообразования в контекстной рекламе. Сначала будем считать, что задачей этого алгоритма является максимизация количества кликов при заданной величине бюджета. Простейшей функцией, аппроксимирующей зависимость количества кликов по данной фразе в единицу времени от цены клика, является линейная функция без свободного члена:

c – количество кликов по данной фразе в единицу времени;
p – цена за клик, установленная для данной фразы;
q – количество кликов по данной фразе в единицу времени при цене за клик равной единице (p=1).

А зависимость стоимости кликов по данной фразе в единицу времени от стоимости клика будет описываться функцией

B – стоимость кликов по данной фразе в единицу времени.

Предположим, что рекламная кампания состоит из 2-х фраз. Тогда затраты по каждой фразе составят:

Суммарные затраты по обеим фразам составят .

Подставив в это выражение значения B₁ и B₂ и выразив p₂ через p₁, получим:
(1).

Суммарное количество кликов по обеим фразам составит:
(2).

Подставив в эту формулу только что полученное значение p₂, получим:
.

Чтобы найти максимум этой функции в зависимости от значения p₁, продифференцируем ее по этому значению:
,

приравняем производную нулю:
,

и найдя отсюда p₁, получим оптимальное значение p₁, при котором суммарное количество кликов будет максимальным:
.

Подставив эту формулу в выражение (1), получим оптимальное значение p_2opt:
.

Видим, что p_1opt= p_2opt. Получается, что суммарное количество кликов будет максимальным при одинаковых ценах за клик по обеим фразам.

Теперь аппроксимируем зависимость количества кликов по данной фразе в единицу времени от стоимости клика линейной функцией со свободным членом:
.

Тогда зависимость стоимости кликов по данной фразе в единицу времени от стоимости клика будет описываться функцией
.

Также предположим, что кампания состоит из 2-х фраз. Тогда затраты по каждой фразе составят:
.

Суммарные затраты по обеим фразам составят .

Подставив в это выражение значения B₁ и B₂, получим:
.

Решив это квадратичное уравнение относительно p₂, получим:
(3).

Минус перед корнем игнорируем, поскольку такое решение отрицательно, и поэтому не имеет экономического смысла. Суммарное количество кликов по обеим фразам составит:
.

Чтобы найти максимум этой функции в зависимости от значения p₁, продифференцируем ее по этому значению:
.

Приравняв производную нулю, получим:
, откуда
.

Решив это квадратичное уравнение относительно p₁, получим:
.
Минус перед корнем убираем, как лишенный экономического смысла. Тогда оптимальное значение цены для 1-й фразы будет равным
.

Подставив в предпоследнюю формулу выражение (3), получим оптимальное значение p₂:
.

Видим, что в данной модели в общем случае . Из формул для оптимальных значений p_1opt и p_2opt видим, что p_1opt=p_2opt только в том случае, когда b₁=b₂.

Для решения задачи максимизации количества кликов при заданной величине бюджета для более сложных случаев используем Excel.

В файле arb.xls на листе «Линейная» приведена линейная аппроксимирующая функция, а на листе «Квадратичная» - квадратичная аппроксимирующая функция для трех фраз. Путем подбора значений в ячейках С2 и С3 приходим к выводу, что суммарное количество кликов будет максимальным при одинаковых ценах за клик по всем фразам.

Теперь попытаемся аппроксимировать зависимость количества кликов по данной фразе от цены клика более правдоподобной функцией. Предположим, что:

• при ценах ниже цены входа в гарантированные показы эта функция выглядит как ;
• при ценах выше цены входа в гарантированные показы эта функция выглядит как ;
• при цене входа в гарантированные показы количество кликов возрастает в n раз.

Из последнего предположения получаем, что
, откуда получим .

Итак,
(4).

График этой функции приведен на рисунке ниже:
.

Алгоритм решения этой задачи для 2-х фраз реализован в файле arb.xls на листе «Линейная (2)». Количество кликов (ячейки Е3 и Е4) считается по формулам (4).

В ячейках G3 и G4 (эти значения равны, поскольку вид аппроксимирующей функции одинаков для разных фраз) считается значение оптимальной цены клика на первом участке (до входа в гарантированные показы) при величине бюджета, задаваемом значениями цены клика в ячейках D2 и D3. В ячейках H3 и H4 считается значение оптимальной цены клика на втором участке (после входа в гарантированные показы). Эти значения в общем случае не равны, а становятся равными только при одинаковых значениях цены входа в гарантированные показы.

Для проверки решения можно воспользоваться функцией подбора параметра («Сервис/Подбор параметра…»). Для этого устанавливаем в ячейке D3 какое-либо значение цены клика, а в окне «Подбор параметра» устанавливаем следующие значения:

• Установить в ячейке: B7;
• Значение: требуемое значение бюджета (например, 100);
• Изменяя значение ячейки: D4.

Анализируя эту модель, приходим к следующим выводам:

• При малых значениях бюджета, требующих значений цен клика по обеим фразам меньше цен входа в гарантированные показы, максимальное значение суммарного количества кликов по обеим фразам достигается при равных значениях цен клика по обеим фразам.
• При больших значениях бюджета, требующих значений цен клика по обеим фразам больше цен входа в гарантированные показы, максимальное значение суммарного количества кликов по обеим фразам достигается при различных значениях цен клика по обеим фразам. В данной модели эти значения зависят только от цен входа в гарантированные показы. Чем меньше цена входа в гарантированные показы, тем больше оптимальная цена за клик по данной фразе и наоборот. Однако следует отметить, что, устанавливая одинаковые значения цен клика по обеим фразам, сумма кликов уменьшается относительно максимальной незначительно (не более чем на 1%).
• Данная модель не совсем корректна при средних значениях бюджета. Существуют такие значения параметров данной модели, при которых некоторые значения бюджета вообще невозможно получить.

В Яндексе существует правило, согласно которому объявление будет показываться с определенной периодичностью в гарантированных показах по фразам, цены за клик по которым ниже цены входа в гарантированные показы. При этом вероятность попадания в гарантированные показы зависит от установленной цены за клик по данной фразе. Тогда вполне правдоподобной может выглядеть следующая модель.

Предположим, что:

• при ценах ниже цены входа в гарантированные показы эта функция выглядит как ;
• при ценах выше цены входа в гарантированные показы эта функция выглядит как ;
• при цене входа в гарантированные показы значения обеих функций равны.

Из последнего предположения получаем, что . Значения q и n несут ту же смысловую нагрузку, что и в предыдущей модели.

Итак,
(5).

График этой функции приведен на рисунке ниже:

Алгоритм решения этой задачи для 2-х фраз реализован в файле arb.xls на листе «Линейная (3)». Количество кликов (ячейки Е3 и Е4) считается по формулам (5). Фактически, решение этой задачи отличается от предыдущей только оптимальными ценами клика до входа в гарантированные показы (они уменьшаются в раз), а также максимальной суммой кликов до входа в гарантированные показы (она увеличивается в раз). Выводы остаются теми же.

Кроме того, можно аппроксимировать зависимость количества кликов по данной фразе от цены за клик экспоненциальной зависимостью:
(6)
q – количество кликов по данной фразе при бесконечно большой цене за клик ();
p_g – некий коэффициент, позволяющий учесть различия в ценах входа в гарантированные показы по разным фразам. Точнее, это цена, при которой количество кликов по данной фразе составляет 0,632 от максимального количества кликов по данной фразе. Условно назовем этот коэффициент ценой входа в гарантированные показы.

График этой функции приведен на рисунке ниже:

Алгоритм решения этой задачи для 2-х фраз реализован в файле arb.xls на листе «Экспоненциальная». Количество кликов (ячейки Е3 и Е4) считается по формуле (6). Поскольку в аналитическом виде решить задачу оптимизации в данном случае нельзя, приходится пользоваться сервисом «Подбор параметра».

Анализируя этот вид аппроксимирующей функции, приходим к следующим выводам:

• При равных значениях цен входа в гарантированные показы по обеим фразам, максимальное значение суммарного количества кликов по обеим фразам достигается при равных значениях цен за клик по обеим фразам.
• При разных значениях цен входа в гарантированные показы по обеим фразам, максимальное значение суммарного количества кликов по обеим фразам достигается при разных значениях цен клика. Однако, в отличие от двух предыдущих моделей с линейной аппроксимацией, в данной модели у какой фразы больше цена входа в гарантированные показы, у той фразы больше и оптимальная цена клика. Если ничего не напутано в расчетах, то объяснить такое кардинальное различие в этих моделях можно тем, что при линейной аппроксимации количество кликов растет неограниченно с ростом цены за клик, а при экспоненциальной – количество кликов ограничено некой предельной величиной. В этом смысле экспоненциальная аппроксимация, на мой взгляд, ближе к реальному положению дел.
• В данной модели, устанавливая одинаковые значения цен клика по обеим фразам, сумма кликов уменьшается относительно максимальной не более чем на 1,5%.

Подытоживая все модели, можно сказать, что, несмотря на то, что в разных моделях оптимальные значения цены кликов для разных фраз разные, наиболее оптимальным является установление единой цены клика для разных фраз.

Перейти к следующей статье